Rappel du Cours : Dérivée d’une fonction réciproque

I- Fonctions continues et strictement monotone sur un intervalle:

Fonction monotone sur un intervalle

Théorème :

Une fonction strictement monotone sur l’intervalle [a,b] effectue une bijection de cet intervalle sur [f(a),f(b)] (ou [f(b), f(a)]) donc il existe une bijection réciproque de [f(a),f(b)] (ou [f(b), f(a)]) dans [a,b] qui à f(x) fait correspondre x.

Propriété :

Si f est une fonction dérivable sur l'intervalle [a ; b]. Si, pour tout réel x de]a ; b [, f'(x) > 0 (respectivement  f'(x) < 0), alors f est une bijection de [a ; b] sur [f(a) ; f(b)] ( respectivement sur [f(b) ; f(a)])

Remarque : il n'est pas nécessaire que f soit dérivable pour être une bijection.

Si f est une fonction bijective de I sur J, alors il existe une fonction appelée fonction réciproque de f et noté f ^-1 telle que:

Théorème (Ladmis)

Savoir-faire : Etant donnée une fonction strictement monotone et continue sur un intervalle I, comment utiliser le théorème de la bijection pour :

     1. déterminer l’ensemble J des images ?

     2. en déduire alors le tableau de variation de l’application réciproque g : J ® I ? Les limites aux bornes de l’intervalle J ?

     3. Démontrer l’existence et l’unicité d’une solution de l’équation f(x) = c ?

Exemple:

 f : x® x²+1 est strictement croissante de [0, +¥[dans[1, +¥ [ donc il existe une bijection réciproque de[1,+¥ [dans [0, +¥ [, que l’on détermine en écrivant : y =x² +1

x =   Û f ^-1 (x) =  

Graphe de la fonction réciproque:

Passer de f à f ^-1 revient à échanger x et y, donc si les axes sont orthonormés, le graphe de f et celui de f ^-1 sont symétriques par rapport à la bissectrice des axes y = x.

Courbe représentative de la fonction f(x) = -2x² + 5 et f ^-1(x) =

II- Dérivée d'une fonction réciproque: 

Si une fonction f est continue, strictement monotone et dérivable sur un intervalle I de , et si sa dérivée f ' ne s'annule pas sur I, alors sa fonction réciproque f ^-1 est dérivable sur f(I) et on a :

Comment procéder pour déterminer la dérivée d'une fonction réciproque  il suffit de  calculer f '(y) puis exprimer

(f ^-1(x))' = 1/f '(y) en fonction de y sachant  x = f(y), puis en fonction de x

Remarque: on peut dérivée une fonction réciproque même si on ne connaît pas son expression

III-Fonction : x ®   n ³ 2.

A propos de la racine nième

Poser la question de la racine nième d'un nombre réel x, c'est se demander: Existe-t-il un réel t dont la puissance nième est égale à x, c'est-à-dire tel que x = tⁿ? Cela revient à s'interroger sur l'existence d'une réciproque g à la fonction  f (t) = tⁿ.

Toutes les fonctions puissances (entières) f(t) = tⁿ  où l'exposant n est un entier positif sont définies, continues et dérivables sur IR

Théorème:

La fonction x® xⁿ, n ³ 2  est une bijection strictement croissante de [0, +¥ [sur [0, +¥ [. Sa bijection réciproque est la fonction notée  et définie par: 

: [0, +¥ [® [0, +¥ [

x ®          

Définition:

Soit n un entier naturel supérieur ou égal à deux.

La fonction racine nième, définie, continue sur IR⁺, est dérivable sur]0, +¥ [et sa fonction dérivée est : ()' = (1/n)x^{(1/n) -1}

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